Что такое модуль числа в математике

Модуль числа (абсолютная величина числа), определения, примеры, свойства.


В этой статье мы детально разберем модуль числа. Мы дадим различные определения модуля числа, введем обозначения и приведем графические иллюстрации. При этом рассмотрим различные примеры нахождения модуля числа по определению. После этого мы перечислим и обоснуем основные свойства модуля. В конце статьи поговорим о том, как определяется и находится модуль комплексного числа.


Модуль числа – определение, обозначение и примеры

Сначала введем обозначение модуля числа. Модуль числа a будем записывать как , то есть, слева и справа от числа будем ставить вертикальные черточки, образующие знак модуля. Приведем пару примеров. Например, модуль целого числа−7 можно записать как ; модуль рационального числа4,125 записывается как , а модуль иррационального числа имеет запись вида .

Так мы определились с обозначением, теперь пришло время дать определение модуля числа. Чтобы хорошо понять определение модуля числа необходимо хорошо владеть материалом статьи положительные и отрицательные числа, а также статьи противоположные числа.

Следующее определение модуля относится к действительным числам, а следовательно, и к натуральным числам, и к целым, и к рациональным, и к иррациональным числам, как к составляющим частям множества действительных чисел. О модуле комплексного числа мы поговорим в последнем пункте этой статьи.

Озвученное определение модуля числа часто записывают в следующем виде , эта запись означает, что , если a>0, , если a=0, и , если a<0.

Запись можно представить в более компактной форме . Эта запись означает, что , если (a больше или равно 0), и , если a<0.

Также имеет место и запись . Здесь отдельно следует пояснить случай, когда a=0. В этом случае имеем , но −0=0, так как нуль считают числом, которое противоположно самому себе.

Приведем примеры нахождения модуля числа с помощью озвученного определения. Для примера найдем модули чисел 15 и . Начнем с нахождения . Так как число 15 – положительное, то его модуль по определению равен самому этому числу, то есть, . А чему равен модуль числа ? Так как — отрицательное число, то его модуль равен числу, противоположному числу , то есть, числу . Таким образом, .

В заключение этого пункта приведем один вывод, который очень удобно применять на практике при нахождении модуля числа. Из определения модуля числа следует, что модуль числа равен числу под знаком модуля без учета его знака, а из рассмотренных выше примеров это очень отчетливо видно. Озвученное утверждение объясняет, почему модуль числа называют еще абсолютной величиной числа. Так модуль числа и абсолютная величина числа – это одно и то же.

К началу страницы

Модуль числа как расстояние


Геометрически модуль числа можно интерпретировать как расстояние. Приведем определение модуля числа через расстояние.

Данное определение согласуется с определением модуля числа, данного в первом пункте. Поясним этот момент. Расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует положительное число, равно этому числу. Нулю соответствует начало отсчета, поэтому расстояние от начала отсчета до точки с координатой 0 равно нулю (не нужно откладывать ни одного единичного отрезка и ни одного отрезка, составляющего какую-нибудь долю единичного отрезка, чтобы от точки O попасть в точку с координатой 0). Расстояние от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равно числу, противоположному координате данной точки, так как равно расстоянию от начала координат до точки, координатой которой является противоположное число.

Например, модуль числа 9 равен 9, так как расстояние от начала отсчета до точки с координатой 9 равно девяти. Приведем еще пример. Точка с координатой −3,25 находится от точки O на расстоянии 3,25, поэтому .

Озвученное определение модуля числа является частным случаем определения модуля разности двух чисел.

То есть, если даны точки на координатной прямой A(a) и B(b), то расстояние от точки A до точки B равно модулю разности чисел a и b. Если в качестве точки В взять точку O (начало отсчета), то мы получим определение модуля числа, приведенное в начале этого пункта.

К началу страницы

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень

Иногда встречается определение модуля через арифметический квадратный корень.

Для примера вычислим модули чисел −30 и на основании данного определения. Имеем . Аналогично вычисляем модуль двух третьих: .

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень также согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Покажем это. Пусть a – положительное число, при этом число −a – отрицательное. Тогда и , если же a=0, то .

К началу страницы

Свойства модуля

Модулю присущ ряд характерных результатов — свойства модуля. Сейчас мы приведем основные и наиболее часто используемые из них. При обосновании этих свойств мы будем опираться на определение модуля числа через расстояние.

  • Начнем с самого очевидного свойства модуля – модуль числа не может быть отрицательным числом. В буквенном виде это свойство имеет запись вида для любого числа a. Это свойство очень легко обосновать: модуль числа есть расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом.

  • Переходим к следующему свойству модуля. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда это число есть нуль. Модуль нуля есть нуль по определению. Нулю соответствует начало отсчета, никакая другая точка на координатной прямой нулю не соответствует, так как каждому действительному числу поставлена в соответствие единственная точка на координатной прямой. По этой же причине любому числу, отличному от нуля, соответствует точка, отличная от начала отсчета. А расстояние от начала отсчета до любой точки, отличной от точки O, не равно нулю, так как расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Приведенные рассуждения доказывают, что нулю равен лишь модуль нуля.

  • Идем дальше. Противоположные числа имеют равные модули, то есть, для любого числа a. Действительно, две точки на координатной прямой, координатами которых являются противоположные числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, значит модули противоположных чисел равны.

  • Следующее свойство модуля таково: модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел, то есть, . По определению модуль произведения чисел a и b равен либо a·b, если , либо −(a·b), если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b, , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.

  • Модуль частного от деления a на b равен частному от деления модуля числа a на модуль числа b, то есть, . Обоснуем это свойство модуля. Так как частное равно произведению , то . В силу предыдущего свойства имеем . Осталось лишь воспользоваться равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.

  • Следующее свойство модуля записывается в виде неравенства: , a, b и c – произвольные действительные числа. Записанное неравенство представляет собой ни что иное как неравенство треугольника. Чтобы это стало понятно, возьмем точки A(a), B(b), C(c) на координатной прямой, и рассмотрим вырожденный треугольник АВС, у которого вершины лежат на одной прямой. По определению модуля разности равен длине отрезка АВ, — длине отрезка АС, а — длине отрезка СВ. Так как длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других сторон, то справедливо неравенство , следовательно, справедливо и неравенство .

  • Только что доказанное неравенство намного чаще встречается в виде . Записанное неравенство обычно рассматривают как отдельное свойство модуля с формулировкой: «Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел». Но неравенство напрямую следует из неравенства , если в нем вместо b положить −b, и принять c=0.

К началу страницы

Модуль комплексного числа

Дадим определение модуля комплексного числа. Пусть нам дано комплексное число, записанное в алгебраической форме , где x и y – некоторые действительные числа, представляющие собой соответственно действительную и мнимую части данного комплексного числа z, а – мнимая единица.

Модуль комплексного числа z обозначается как , тогда озвученное определение модуля комплексного числа может быть записано в виде .

Данное определения позволяет вычислить модуль любого комплексного числа в алгебраической форме записи. Для примера вычислим модуль комплексного числа . В этом примере действительная часть комплексного числа равна , а мнимая – минус четырем. Тогда по определению модуля комплексного числа имеем .

Геометрическую интерпретацию модуля комплексного числа можно дать через расстояние, по аналогии с геометрической интерпретацией модуля действительного числа.

По теореме Пифагора расстояние от точки O до точки с координатами (x, y) находится как , поэтому, , где . Следовательно, последнее определение модуля комплексного числа согласуется с первым.

Данное определение также позволяет сразу указать, чему равен модуль комплексного числа z, если оно записано в тригонометрической форме как или в показательной форме . Здесь . Например, модуль комплексного числа равен 5, а модуль комплексного числа равен .

Можно также заметить, что произведение комплексного числа на комплексно сопряженное число дает сумму квадратов действительной и мнимой части. Действительно, . Полученное равенство позволяет дать еще одно определение модуля комплексного числа.

В заключение отметим, что все свойства модуля, сформулированные в соответствующем пункте, справедливы и для комплексных чисел.

Профиль автора статьи в Google+

К началу страницы

Модуль числа a – это либо само число a, если a – положительное число, либо число −a, противоположное числу a, если a – отрицательное число, либо 0, если a=0.

Модуль числа a – это расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, соответствующей числу a.

Модуль разности двух чиселa и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b.

Модулем комплексного числаz=x+i·y называется арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части данного комплексного числа.

Модуль комплексного числаz – это расстояние от начала комплексной плоскости до точки, соответствующей числу z в этой плоскости.

Модуль комплексного числаz – это арифметический квадратный корень из произведения этого числа и числа, комплексно сопряженного с ним, то есть, .

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
  • Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного: учебник для вузов.
  • Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.

Уравнения с модулями.

Определение модуля

Модули

Модуль (абсолютное значение) позитивного числа или нуля есть это число, а модуль отрицательного числа есть противоположное ему число, то есть

|a| = a если a ≥ = 0 and
|a| = -a если a < 0

Из определения понятно, что абсолютная величина любого рационального числа, отличного от нуля, есть положительное число. Поэтому противоположные числа имеюь равные модули. Рассмотрим следующие уравнения |ax + b| = c


Задача 1 Решите уравнения:
A) |x| = 5
B) |3x + 4| = 7
C) |1 / 3x + 4| = 0
D) |2 — 5x| = — 3
E) –|3x – 1| = — 11
F) |3x — 3(x — 1)| = 3

Решение:

Для решения этих уравнений мы будем использовать определение модуля рационального числа.

A) Если |x| = 5, тогда x = 5 или x = — 5, потому что модуль 5 и -5 есть 5.
Кроме того, больше нет других чисел с таким модулем;

B) Из |3x + 4| = 7 мы получаем, что 3x + 4 = 7 или 3x + 4 = -7
Из первого уравнения мы находим, что 3x = 7 — 4 <=> 3x = 3 <=> x = 1,
а их второго уравнения: 3x = — 7 — 4 <=> 3x = -11 <=> x = -11/3

C) |1/3x + 4| = 0 означает, что
1/3x + 4 = 0 <=>
1/3x = -4 <=> x = -12

D) |2 — 5x| = -3 не имеет решения, потому что из теории мы знаем, что не существует числа, модуль которого является отрицательным значением

E) -|3x – 1| = — 11 <=> |3x — 1| = 11,
отсюда 3x — 1 = 11 или 3x — 1 = -11
Из решения последних двух уравнений
x = 4 или x = -10/3

F) |3x — 3x + 3| = 3 <=>|3| = 3.
Поэтому любое x есть решением


Задача 2 Решите уравнения:
A) 3|5x|+ 4|5x| = 35
B) |2x|/3 + 3|2x|/2 = 1/2
C) 3.7|x| – 2.2|x| = 22.5
D) |(x + 1)/3| = 5

Решение:

A) 3|5x| + 4|5x| = 35 <=>
(3 + 4)|5x| = 35 <=>
7 |5x| = 35 <=>
|5x| = 35/7 <=> |5x| = 5
Из последнего уравнения мы получаем 5x = 5 или 5x = — 5.
И мы находим, что x = 1 или x = -1

B) |2x|/3 + 3|2x|/2 = 1/2 <=>
2|2x| + 9|2x| = 3 <=>
11|2x| = 3 равно <=> |2x| = 3/11
Поэтому 2x = 3/11 или 2x = — 3/11,
откуда x = 3/22 или x = — 3/22

C) 3.7|x| – 2,2|x| = 22.5 <=>
(3.7 — 2,2)|x| = 22.5 <=>
1.5|x| = 22.5 <=>
|x| = 22.5/1.5 <=> |x| = 15,
откуда x = 15 или x = — 15

D) |(x + 1)/3| = 5, отсюда (x + 1)/3 = 5 или (x + 1)/3 = -5.
Поэтому x + 1 = 15 <=> x = 14 или x + 1 = -15 <=> x = -16


Задача 3 Докажите, что уравнение не имеет решения:
A) -|(2x + 3)/14| = 5
B) |8x – 4(2x + 3)| = 15

Решение:

A) -|(2x + 3)/14| = 5 <=> |(2x + 3)/14| = -5
, что не имеет решения, потому что не существует числа с отрицательным модулем.

B) |8x — 4(2x + 3)| = 15 <=> |8x — 8x — 12| = 15 <=>
|-12| = 15 <=> 12 = 15, откуда видно, что это невозможно для любого x


Задача 4 Решите уравнение:
A) 2|x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|;
B) 3|x| – (x + 1)2 = 4|x| – (x2 -1) – 2(x — 5);
C) |-3 — 5x| = 3;
D) 2|x – 1| = 9 – |x – 1|;
E) |x| – (3 – x)/4 = (2x — 1)/8

Решение:

A) 2|x – 1| + |x -1| = 9 — 3 <=> (2 + 1)|x -1| = 6 <=>
3|x – 1| = 6 <=> |x — 1| = 2
Поэтому x — 1 = 2 или x — 1 = — 2,
откуда x = 3 или x = — 1

B) 3|x| – (x + 1)2 = 4|x| – (x2 — 1) — 2(x — 5)<=>
x2 — 1 + 2(x – 5) – (x + 1)2 = 4|x| – 3 |x| <=>
x2 — 1 + 2x — 10 – (x2 + 2x + 1) = (4 — 3)|x| <=>
x2 + 2x — 11 – x2 — 2x — 1 = |x| <=>
-12 = |x|, что не имеет решения;

C) Из |-3 — 5x| = 3 мы получаем -3 — 5x = 3 или -3 — 5x = — 3.
Поэтому -3 — 3 = 5x <=> x = — 6/5 или -3 + 3 = 5x <=>
0 = 5x <=> x = 0;

D) 2 |x – 1| = 9 – |x – 1| <=>
2 |x – 1| + |x – 1| = 9 <=>
(2 + 1)|x – 1| = 9 <=> 3|x – 1| = 9 <=>
|x – 1| = 3 мы получаем x — 1 = 3 или x — 1 = -3,
т.e. x = 4 или x = — 2

E) |x| = (2x — 1)/8 + (3 – x)/4 <=>
|x| = [2x — 1 +2(3 – x)]/8 <=>
|x| = 5/8, откуда x = 5/8 или x = -5/8


Задача 5 Решите уравнение:
A) |4 – |x|| = 2
B) |9 + |x|| = 5

Решение:

A) |4 – |x|| = 2 мы получаем 4 – |x| = 2 или 4 – |x| = -2
Мы находим: 4 — 2 = |x| <=>
|x| = 2 или 4 + 2 = |x| <=> |x| = 6
Поэтому, решениями есть x = 2, -2; 6, -6

B) |9 + |x|| = 5 мы получаем 9 + |x| = 5 или 9 + |x| = — 5
Находим, что |x| = -4 или |x| = -13, но для этих равенств нет решения.


Задача 6 Решите уравнение:
|(2x + 1)2 — 4x2 — 2| — 3|4x – 1| = — 6

Решение:

|(2x + 1)2 — 4x2 — 2| – 3|4x -1| = — 6 <=>
|4x2 + 4x + 1 — 4x2 — 2 | — 3|4x — 1| = — 6 <=>
|4x – 1| — 3|4x – 1| = — 6 <=> -2|4x – 1| = — 6 <=>
|4x – 1| = 3 <=> 4x — 1 = 3 or 4x — 1 = -3
Поэтому x = 1 или x = -1/2


Задача 7 Решите уравнение:
A) |2x – (3x + 2)| = 1
B) |x|/3 – 2|x|/2 = — 1
C) |3x – 1| = 2|3x – 1| — 2

Решение:

A) |2x – 3x – 2| = 1 <=> |-x – 2| = 1 <=>
-x — 2 = 1 или –x — 2 = -1
Из первого уравнения мы получаем -2 — 1 = x <=> x = -3,
а из второго: -2 + 1 = x <=> x = -1

B) |x|/3 – 2 |x|/2 = -1. После сокращений общего знаменателя мы получаем
2|x| – 3.2.|x| = — 6 <=>
2|x| — 6|x| = — 6 <=>
— 4|x| = -6 <=> |x| = 3/2 <=>
x = 3/2 или x = — 3/2

C) |3x – 1| = 2|3x – 1| – 2 <=>
2 = 2|3x – 1| – |3x – 1| <=>
2 = |3x – 1| <=>
3x — 1 = 2 или 3x — 1 = — 2,
откуда 3x = 3 <=> x = 1 или 3x = — 1 <=> x = — 1/3

Подробнее об уравнениях на страницах математического форума

Форум об уравнениях

Модуль числа

Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число:

|а| = а

Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число:

|а| = — а

Короче это записывают так:

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5

Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули:

|-а| = |а|

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков:

|0| = 0

На практике используют различные свойства модулей:

|а| ? 0

|а·b| = |а| · |b|

|а|n = аn , n є Z, a ? 0, n > 0

|а| = | — а|

|а + b|  ? |а| + |b|

|а·q| = q·|а| , где q — положительное число

|а|2 = а2

Значение |a — b|  равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа a и b.

Пример 1.

, т.к.

Что такое модуль числа в математике

< 0 ;

, т.к. < 0

Пример 2.

Упростить выражение  , если a < 0.

Решение.

Так как по условию а < 0, то |а| = -а. В результате получаем

Ответ: 

Пример 3.

Вычислить

Решение.

Имеем

Теперь раскроем знаки модулей.

Воспользуемся тем, что 1 < ? 3  < 2. Значит, ?3 - 2 < 0, а ?3 - 1 > 0.

Но тогда |?3 — 2| = -(?3 — 2) = 2- ?3 ,

а |?3 — 1| = ?3 — 1

В итоге получаем

Ответ: 1

Здесь Вы нашли ответ на вопрос : что такое модуль числа , и какие его свойства.

Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0, то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически.

Модуль числа.

Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1.Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <-> x=0.
В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2.
При x < 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0 или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2.
Решим уравнение для отрицательных переменных (x < 0). Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе — раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная — меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1), т.е.

Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

и найдем решение


Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.

Пример 2.Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=> x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших — положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
4-3=3x-x или x+3x=4+3;
2x=1 или 4x=7;
x=1/2 или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

Пример 3.Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение: Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=> x=5/2=2,5.
Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5. Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 -> x>=-3.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3). Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 или x=7.
Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 или x=9.
Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3).Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ:x=1/3; x=9.

Пример 4.Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=> x=1/3.
Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5.

Таким образом модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
[1,5; 2,5], [2,5; +бесконечность).
Раскроем модуль при отрицательных значениях внутреннего модуля [1,5; 2,5]
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 или x=-7.
Оба значения не попадают в промежуток [1,5; 2,5], то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3 или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 или 2x+3x=6+3;
x=3 или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ:x=1/3; x=9.

Примеров с модулями где есть один или несколько вложенных модулей в интернете или методичке можно найти немало. Схема их вычислений ничем не отличается от приведенной выше. Для проверки знаний прошу решить следующие задачи.

Равнение на модуль в модуле:

  • ||3x-3|-2|=5-2x;
  • ||5x-3|-3|=3x-1;
  • ||2x-7|-4|=x-2;
  • ||5x-4|-8|=x+4;
  • ||2x-2|-3|=1;
  • ||x-2|-3|=4-x.

Похожие материалы:

Модуль числа

Допустим, вам надо решить уравнение, содержащее модуль, а ещё лучше, если вам дано уравнение с 2 модулями.

Для примера, требуется решить

| x + 1| + |x – 5| = 20

Это уравнение мы решим с помощью калькулятора уравнений

Вы вводите уравнение, как указано на изображении ниже (знак модуля отмечается вертикальными линиями "|")

 

Нажимаете кнопку "Решить уравнение!" и получаете подробное решение для своего уравнения с модулем:

Подробное решение

Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
решение на этом интервале:
Неравенства не выполняются, пропускаем
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
решение на этом интервале:
Тогда, окончательный ответ:

x2 = -8

 

Опубликовано: Декабрь 24, 2014

Модуль числа (абсолютная величина числа), определения, примеры, свойства.

Рассмотрим пример неравенства с модулем и посмотрим, как его можно решить по-шагово с помощью калькулятора неравенств онлайн:

|2x — 5| — |3x + 8| > 10

Нужно ввести в форму ваше неравенство:

И вы получите подробное решение:

 

Дано неравенство:

|2*x — 5| — |3*x + 8| > 10

Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:

|2*x — 5| — |3*x + 8| = 10

Решаем:

Для каждого выражения под модулем в ур-нии

допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",

решаем получившиеся ур-ния.

 

1.

или

получаем ур-ние

-10 — 8 + 3*x + -5 + 2*x = 0

упрощаем, получаем

решение на этом интервале:

но x1 не удовлетворяет неравенству

 

2.

Неравенства не выполняются, пропускаем

 

3.

или

получаем ур-ние

-10 — 8 + 3*x + 5 — 2*x = 0

упрощаем, получаем

решение на этом интервале:

 

4.

или

получаем ур-ние

-10 — -8 — 3*x + 5 — 2*x = 0

упрощаем, получаем

решение на этом интервале:

 

Итого:

Данные корни

являются точками смены знака неравенства в решениях.

Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:

Возьмём например точку

=

=

подставляем в выражение

|2*x — 5| — |3*x + 8| > 10
|2*(-4) — 5| — |3*(-4) + 8| > 10

Тогда

не выполняется

значит одно из решений нашего неравенства будет при:

Опубликовано: Январь 25, 2017

Тэги: неравенство

Добавить комментарий