Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами — числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй — при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы не равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение.

Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство.

Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной

Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае — несовместимой.

Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственный, систему уравнений называют неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Решение СЛАУ можно найти разными способами.

МЕТОД КРАМЕРА

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

— определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений. Рассмотрим примеры с применением метода Крамера.

—————————————————————

Задача 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак единственное решение системы.

Задача 2.

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

Найдем составляющие определителя:

Подставим найденные значения в определитель

Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.

По формулам Крамера находим

Решение системы

Данный пример можно решить математическим калькулятором YukhymCALC . Фрагмент программы и результаты вычислений наведены ниже.

——————————

МЕТОД К Р А М Е Р А

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4*3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5*4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9-40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52=10

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4*2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2)= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1+24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1*(-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4*3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1*(5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+(-3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2-30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000

x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000

x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000

x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000

Посмотреть материалы:

{jcomments on}

Методы вычисления определителей

В общем случае правило вычисления определителей-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.

Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Теорема Лапласа

Читать дальше: обратная матрица.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 31 Случай, когда главный определитель системы уравнений равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля

Теорема. Если главный определитель системы уравнений

                 (1)

равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система несовместна.

Формально, доказательство этой теоремы нетрудно получить методом от противного. Предположим, что система уравнений (1) имеет решение (x₀ , y₀ ). Тогда как показано в предыдущем параграфе,

Δ • x₀ = Δ_x,      Δ • y₀ = Δ_y                             (2)

Но по условию Δ = 0, а хотя бы один из определителей Δ_x и Δ_y отличен от нуля. Таким образом, равенства (2) одновременно выполняться не могут. Теорема доказана.

Однако представляется интересным более детально выяснить, почему система уравнений (1) в рассматриваемом случае несовместна.

Условие

означает, что коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (1) пропорциональны. Пусть, например,

a₁  = ka₂  ,  b₁ = kb₂.

Условие

означает, что коэффициенты при у и свободные члены уравнений системы (1) не пропорциональны. Поскольку b₁ = kb₂, то    c₁ =/= kc₂ .

Следовательно, система уравнений (1) может быть записана в следующем виде:

В этой системе коэффициенты при неизвестных соответственно пропорциональны, но коэффициенты при у (или при х) и свободные члены не пропорциональны. Такая система, конечно, несовместна. Действительно, если бы она имела решение (x₀ , y₀ ), то выполнялись бы  числовые  равенства

k (a₂x₀ + b₂ y₀) = c₁

a₂x₀ + b₂ y₀ = c₂.

Но одно из этих равенств противоречит другому: ведь c₁ =/= kc₂.

Мы рассмотрели лишь случай, когда Δ_x =/= 0. Аналогично может быть рассмотрен случай, когда Δ_y =/= 0.»

Доказанную теорему можно сформулировать и таким образом.

Если коэффициенты при неизвестных х и у в системе уравнений (1) пропорциональны, а коэффициенты при какой-нибудь из этих неизвестных и свободные члены не пропорциональны, то эта система уравнений несовместна.

Легко, например, убедиться в том, что каждая из данных систем будет несовместной:

ОТВЕТЫ

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Формулы Крамера

---

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

---

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

---

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

---

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Другое по теме «Системы уравнений и неравенств»

Калькулятор — решение систем уравнений онлайн

Программная реализация метода Крамера на C++

Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Условие совместности системы линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли

Решение систем линейных уравнений матричным методом (обратной матрицы)

Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Начало темы «Линейная алгебра»

Определители

Матрицы

Поделиться с друзьями

Определитель квадратной матрицы (детерминант) — численная характеристика матрицы.

Обозначение определителей: |A|, det A, ∆A.

 

Определителем «n» порядка называют алгебраическую сумму всех возможных произведений его элементов, удовлетворяющих следующим требованиям:

1) Каждое такое произведение содержит ровно «n» элементов (т.е. определитель 2 порядка — 2 элемента).

2) В каждом произведении присутствует в качестве сомножителя представитель каждой строки и каждого столбца.

3) Любые два сомножителя в каждом произведении не могут принадлежать одной строке или столбцу.

Знак произведения определяется порядком чередования номеров столбцов, если в произведении элементы расставлены в порядке возрастания номеров строк.

 

Рассмотрим несколько примеров нахождения детерминанта матрицы:

У матрицы первого порядка (т.е.

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

имеется всего 1 элемент), детерминант равен этому элементу:

1. |a11| = a11

 

2. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:

3. Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка (3×3):

Свойства определителей:

1. Если элементы строки или столбца равны нулю, то и определитель равен нулю.

2. Определитель изменит знак, если поменять местами какие-либо 2 строки или столбца. Рассмотрим это на небольшом примере:

Просмотры: 57258

Определитель(он же determinant(детерминант)) находится только у квадратных матриц. Определитель есть ничто иное, как значение сочетающее в себе все элементы матрицы, сохранающееся при транспонировании строк или столбцов. Обозначаться он может как det(A), |А|, Δ(A), Δ, где А может быть как матрицей, так и буквой обозначающей ее. Найти его можно разными методами:

Все выше предложенные методы будут разобраны на матрицах размера от трех и выше. Определитель двумерной матрицы находится с помощью трех элементарных математических операций, поэтому ни в один из методов нахождение определителя двумерной матрицы не попадет. Ну кроме как дополнение, но об этом потом.

Найдем определитель матрицы размером 2х2: 

Для того, чтобы найти определитель нашей матрицы, требуется вычесть произведение чисел одной диагонали из другой, а именно , то есть

Примеры нахождения определителя матриц второго порядка

---

Разложение по строке/столбцу

Выбирается любая строка или столбец в матрице. Каждое число в выбранной линии умножается на (-1)^i+j где(i,j — номер строки,столбца того числа) и перемножается с определителем второго порядка, составленного из оставшихся элементов после вычеркивания i — строки и j — столбца. Разберем на матрице

1. Выберем строку/столбец

Например возьмем вторую строку.

Примечание: Если явно не указано, с помощью какой линии найти определитель, выбирайте ту линию у которой есть ноль. Меньше будет вычислений.

1. Составим выражение

Не трудно определить, что знак у числа меняется через раз. Поэтому вместо единиц можно руководствоваться такой таблицей:

1. Поменяем знак у наших чисел

1. Найдем определители у наших матриц

1. Считаем все это

Решение можно написать так:

Примеры нахождения определителя разложением по строке/столбцу:

---

Метод приведения к треугольному виду(с помощью элементарных преобразований)

Определитель находится с помощью приведения матрицы к треугольному(ступенчатому) виду и перемножению элементов на главной диагонали

Треугольной матрицей называется матрица, элементы которой по одну сторону диагонали равны нулю.

При построении матрицы следует помнить три простых правила:

1. Каждый раз при перестановке строк между собой определитель меняет знак на противоположный.
2. При умножении/делении одной строки на не нулевое число, её следует разделить(если умножали)/умножить(если разделяли) на него же или же произвести это действие с полученным определителем.
3. При прибавлении одной строки умноженной на число к другой строке, определитель не изменяется(умножаемая строка принимает своё исходное значение).

Попытаемся получить нули в первом столбце, потом во втором.

Взглянем на нашу матрицу:

Та-а-ак. Чтобы вычисления были поприятнее, хотелось бы иметь самое близкое число сверху. Можно и оставить, но не надо. Окей, у нас во второй строке двойка, а на первой четыре.

Поменяем же эти две строки местами.

Поменяли строки местами, теперь мы должны либо поменять у одной строки знак, либо в конце поменять знак у определителя.

Определители. Вычисление определителей (стр. 2 )

Сделаем это потом.

Теперь, чтобы получить ноль в первой строке — умножим первую строку на 2.

Отнимем 1-ю строку из второй.

Согласно нашему 3-му правилу возващаем исходную строку в начальное положение.

Теперь сделаем ноль в 3-ей строке. Можем домножить 1-ую строку на 1.5 и отнять от третьей, но работа с дробями приносит мало удовольствия. Поэтому найдем число, к которому можно привести обе строки — это 6.

Умножим 3-ю строку на 2.

Теперь умножим 1-ю строку на 3 и отнимем из 3-ей.

Возвратим нашу 1-ю строку.

.

Не забываем, что умножали 3-ю строку на 2, так что потом разделим определитель на 2.

Один столбец есть. Теперь для того чтобы получить нули во втором — забудем про 1-ю строку — работаем со 2-й строкой. Домножим вторую строку на -3и прибавим к третьей.

Не забываем вернуть вторую строку.

Вот мы и построили треугольнаую матрицу. Что нам осталось ? А осталось перемножить числа на главной диагонали, чем и займемся.

Ну и осталось вспомнить, что мы должны разделить наш определитель на 2 и поменять знак.

---

Правило Саррюса(Правило треугольников)

Правило Саррюса применимо только к квадратным матрицам третьего порядка.

Определитель вычисляется путем добавления первых двух столбцов справа от матрицы, перемножением элементов диагоналей матрицы и их сложением, и вычитанием суммы противоположных диагоналей. Из оранжевых диагоналей вычитаем фиолетовые.

У правила треугольников то же, только картинка другая.

Пример

---

Теорема Лапласа см. Разложение по строке/столбцу

---

Наверх