Свойства корней

Как извлечь корень из числа. А для этого рассмотрим само понятие корня и свойства корней.

 

Если алгебраическое выражение содержит корень, то оно называется иррациональным. Корнем любой степени из \(a\) является число \(n\), при возведении в эту степень мы получаем \(a\).

\(^n \sqrt{a}=a^{\frac{1}{n}}\)

 “\(n\)”-показатель или степень корня, натуральное число, которое больше или равно \(0\).  “\(a\)”- подкоренное выражение.

Действие, с помощью которого вычисляется корень заданного числа, называется извлечением корня из \(a\). Результат извлечения корня называется радикалом.

 

Свойства корней

Два значения будут иметь корень четной степени. Они будут находиться на противоположном знаке в абсолютных равных условиях.

Корень четной степени отрицательного числа не существует, так как при возведении любого вещественного числа в степень с чётным показателем результатом будет неотрицательное число.

 Значение будет положительным из корня нечетной степени из положительного числа. Корень нечетной степени из отрицательного числа будет иметь отрицательное значение.

Корень нуля всегда равен нулю.

Извлечения корня четной степени множество действительных чисел не замкнуто. Результат этого действия неоднозначен.

Что касается извлечения корня нечетной степени, множество вещественных чисел замкнуто. Результат этого действия однозначен.

Свойства  корней

      

1. \( ^n\sqrt{a b} = ^n\sqrt{a} ·^n\sqrt{b}\)    \(a,b \geq 0\)
2. \( ^n\sqrt{\frac{a}{ b}} = \frac{^n\sqrt{a}} {^n\sqrt{b}}\)
3. \( ^n\sqrt{a^k}= ^n\sqrt{a}^k\)
4. \( ^n\sqrt{ ^m\sqrt{n}}= ^{nm}\sqrt{n}\)
5. \( ^n\sqrt{a^n}=|a|\)  \(\begin{equation*} \begin{cases} a,a \geq0\\ -a,a<0 \end{cases} \end{equation*}\)
6. \( ^n\sqrt{0}=0\)
7. \( ^n\sqrt{1}=1\)
8. \( ^n(\sqrt{a^n})=a \)     \(a \geq 0\)
9. \( ^k\sqrt{a^{kn}}= \sqrt{a^{n}}\)

Квадратный корень 8 класс

Формула, определение
Квадратный корень из числа a — в алгебре является число (b),
квадрат которого равен a ( a ? 0 ).

Калькулятор квадратного корня онлайн, возвести в квадрат онлайн

Правило Числа 6 и -6 это квадратные корни из 36, поскольку 6 = 36 и (-6) = 36.

Пример 4 = (-4) = 16;

9 = (-9) = 81;

21 = (-21) = 441.

Арифметический квадратный корень, формула

Формула, определение
Арифметическим квадратным корнем из числа a — называется неотрицательное число ( c ), квадрат которого равен a; обозначается как ?a:

Пример?9 = 3, так как 3 = 9 и 3 > 0;

?49 = 7, так как 7 = 49 и 7 > 0;

?36 ? -6, так как -6

Пример (?1,2) = 1,2;

(?455) = 455;

(?583) = 583.

Поиск Лекций

---

Раздел 15. Степени и корни. Степенные функции.

Тема46: Многочлены от нескольких переменных (Выполнение практических заданий).

Учебная цель:изучить полное содержание темы, исследовать применение к решению задач различного содержания.

Задания для самостоятельной работы:

Выполнить задания:

Уровень1: Запишите многочлен в стандартном виде: а)
б)

Уровень 2: №1. Решите уравнение относительно x :
№2. Постройте график уравнения:

Уровень 3: Решите систему уравнений:

Форма контроля и критерии оценки

— оформленное решение на отдельных листах.

решение заданий1 уровня – оценка «3»;

выполнение заданий 2-х уровней – оценка «4»;

выполнение заданий всех уровней, правильное оформление – оценка «5»

Список рекомендуемой литературы:

1. В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин. «Математика». Лекции, задачи, решения. ООО «Попурри», 1996г.

2. И.Т. Демидов, А.Н. Колмогоров, С.И. Шварцбург, О.С. Ивашев-Мусатов, Б.Е. Вейц. «Алгебра и начала анализа». Учебное пособие. М., «Просвещение», 1975г.

3. А.А. Рывкин, А.З. Рывкин, Л.С. Хренов. «Справочник по математике». М., «Просвещение», 1987г

4.

Свойства корней

«Энциклопедический словарь юного математика». Составитель А.П. Савин. М., «Педагогика», 1985г.

5. И.Ф. Шарыгин. «Факультативный курс по математике. Решение задач». М., «Просвещение», 1989г.

6. А.Д. Кутасов, Т.С. Пиголкина, В.И. Чехлов, Т.Х. Яковлева. «Пособие по математике для поступающих в вузы». М., «Наука», 1988г.

7. А.Г. Мордкович. «Алгебра и начала математического анализа» — профильный уровень., учебник, «Мнемозина», 2009г

8. Интернет ресурсы.

Раздел 15. Степени и корни. Степенные функции.
Тема47: Уравнения высших степеней

Учебная цель:изучить полное содержание темы, исследовать применение к решению задач различного содержания.

Задания для самостоятельной работы:

1.Работа с литературой.

2.Составление краткого конспекта по теме.

3.Решить примеры.

4.Оформление работы.

Инструкция по выполнению самостоятельной работы

1.Изучить литературу по плану:

1.Определение;

2.Метод введения новой переменной;

3.Метод разложения на множители;

4.Графический метод.

2.Выполнить задания:

№1. Решить уравнение:

№2. Решить уравнение:

№3.

 

Форма контроля и критерии оценки

— оформленное решение на отдельных листах.

решение заданий№1– оценка «3»;

выполнение заданий №1-2– оценка «4»;

выполнение всех заданий, правильное оформление – оценка «5»

Список рекомендуемой литературы:

1. А.Г. Мордкович. «Алгебра и начала математического анализа» — профильный уровень., учебник, «Мнемозина», 2009г

2. Интернет ресурсы

Раздел 16. Показательная и логарифмическая функция

Тема48: Показательная функция, ее график и свойства. Выполнить тест.

Учебная цель:изучить полное содержание темы, исследовать применение к решению задач различного содержания.

Задания для самостоятельной работы:

Выполнить тест

1 уровень:

 

2 уровень:

 

3 уровень:

Форма контроля и критерии оценки

— оформленное решение на отдельных листах.

решение заданий1 уровня – оценка «3»;

выполнение заданий 2-х уровней – оценка «4»;

выполнение заданий всех уровней, правильное оформление – оценка «5»

Список рекомендуемой литературы:

1. А.Г. Мордкович. «Алгебра и начала математического анализа» — профильный уровень., учебник, «Мнемозина», 2009г

2. Интернет ресурсы.

©2015-2018 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Умножение корней: основные правила

Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

1. Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
2. Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Основное правило умножения

Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:

. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

\[\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\]

Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

\[\begin{align} & \sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10; \\ & \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8; \\ & \sqrt{54}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54\cdot 6}=\sqrt{324}=18; \\ & \sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{3}{17}\cdot \frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\]

Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt{32}$ и $\sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу.

Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

Примеры.

\[\begin{align} & \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{0,001}=\sqrt{5\cdot 2\cdot 0,001}= \\ & =\sqrt{10\cdot \frac{1}{1000}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}. \\ \end{align}\]

И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

Случай произвольного показателя

Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

Примеры. Вычислить произведения:

\[\begin{align} & \sqrt[4]{20}\cdot \sqrt[4]{\frac{125}{4}}=\sqrt[4]{20\cdot \frac{125}{4}}=\sqrt[4]{625}=5; \\ & \sqrt[3]{\frac{16}{625}}\cdot \sqrt[3]{0,16}=\sqrt[3]{\frac{16}{625}\cdot \frac{16}{100}}=\sqrt[3]{\frac{64}{{{25}^{2}}\cdot 25}}= \\ & =\sqrt[3]{\frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=\sqrt[3]{{{\left( \frac{4}{25} \right)}^{3}}}=\frac{4}{25}. \\ \end{align}\]

И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.

Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:

\[\begin{align} & \sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a; \\ & \sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|. \\ \end{align}\]

Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:

Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?

При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)

Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.

Умножение корней с разными показателями

Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt{2}$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt[7]{23}$? Можно ли вообще это делать?

Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:

. Чтобы умножить $\sqrt[n]{a}$ на $\sqrt[p]{b}$, достаточно выполнить вот такое преобразование:

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны.

Корень степени n > 1 и его свойства. Начальный уровень.

Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.

А пока рассмотрим парочку примеров:

\[\begin{align} & \sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt[3\cdot 4]{{{3}^{4}}\cdot {{2}^{3}}}=\sqrt[12]{81\cdot 8}=\sqrt[12]{648}; \\ & \sqrt{2}\cdot \sqrt[5]{7}=\sqrt[2\cdot 5]{{{2}^{5}}\cdot {{7}^{2}}}=\sqrt[10]{32\cdot 49}=\sqrt[10]{1568}; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{3}=\sqrt[2\cdot 4]{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt[8]{625\cdot 9}=\sqrt[8]{5625}. \\ \end{align}\]

Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)

Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?

Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:

Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).

Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)~%» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)

Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.

Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:

\[\sqrt[n]{a}=\sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}\]

Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}}\cdot \sqrt[p\cdot n]{{{b}^{n}}}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:

\[\sqrt[3]{-5}\]

Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:

\[\sqrt[3]{-5}=\sqrt[3\cdot 2]{{{\left( -5 \right)}^{2}}}=\sqrt[6]{{{5}^{2}}}\]

Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:

\[\begin{align} & \sqrt[n]{a}=\sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}\Rightarrow \sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}; \\ & \sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}\Rightarrow \sqrt[6]{{{5}^{2}}}=\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=\sqrt[3]{5}. \\ \end{align}\]

Но тогда получается какая-то хрень:

\[\sqrt[3]{-5}=\sqrt[3]{5}\]

Этого не может быть, потому что $\sqrt[3]{-5} \lt 0$, а $\sqrt[3]{5} \gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:

1. констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
2. Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.

В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)

Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.

Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:

Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.

Пример. В числе $\sqrt[3]{-5}$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:

\[\begin{align} & \sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5} \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=-\sqrt[6]{25}=-\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=-\sqrt[3]{5} \lt 0 \\ \end{align}\]

Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)

Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:

1. Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить (например, если этих минусов окажется два).
2. Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. А если разные — используем злобную формулу \[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\].
3. 3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)

Ну что? Потренируемся?

Пример 1. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt[3]{48}\cdot \sqrt[3]{-\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{48}\cdot \left( -\sqrt[3]{\frac{4}{3}} \right)=-\sqrt[3]{48}\cdot \sqrt[3]{\frac{4}{3}}= \\ & =-\sqrt[3]{48\cdot \frac{4}{3}}=-\sqrt[3]{64}=-4; \end{align}\]

Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.

Пример 2. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt[4]{32}\cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[4]{{{2}^{5}}}\cdot \sqrt[3]{{{2}^{2}}}=\sqrt[4\cdot 3]{{{\left( {{2}^{5}} \right)}^{3}}\cdot {{\left( {{2}^{2}} \right)}^{4}}}= \\ & =\sqrt[12]{{{2}^{15}}\cdot {{2}^{8}}}=\sqrt[12]{{{2}^{23}}} \\ \end{align}\]

Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.

Пример 3. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{{{a}^{4}}}=\sqrt[6\cdot 3]{{{a}^{3}}\cdot {{\left( {{a}^{4}} \right)}^{6}}}=\sqrt[18]{{{a}^{3}}\cdot {{a}^{24}}}= \\ & =\sqrt[18]{{{a}^{27}}}=\sqrt[2\cdot 9]{{{a}^{3\cdot 9}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \end{align}\]

Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:

1. Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
2. В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.

Например, можно было поступить так:

\[\begin{align} & \sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{{{a}^{4}}}=\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3\cdot 2]{{{\left( {{a}^{4}} \right)}^{2}}}=\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[6]{{{a}^{8}}} \\ & =\sqrt[6]{a\cdot {{a}^{8}}}=\sqrt[6]{{{a}^{9}}}=\sqrt[2\cdot 3]{{{a}^{3\cdot 3}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \\ \end{align}\]

По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.

На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $\sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{3}$. Теперь его можно расписать намного проще:

\[\begin{align} & \sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{3}=\sqrt[2\cdot 4]{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt[2\cdot 4]{{{\left( {{5}^{2}}\cdot 3 \right)}^{2}}}= \\ & =\sqrt[4\cdot 2]{{{\left( 75 \right)}^{2}}}=\sqrt[4]{75}. \end{align}\]

Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

Смотрите также:

1. Что такое корень натуральной степени $n$
2. Сложные иррациональные уравнения — что с ними делать и как их решать?
3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 1 (без логарифмов)
4. Как решать задачи B15 без производных
5. Как обеспечить себе достойную старость?
6. Выбор репетитора по математике для подготовки к ЕГЭ

КОРЕНЬ в математике,

1) степени n из числа а, число х такое, что хⁿ = а. Действие нахождения корня называется извлечением корня. В области действительных чисел существует ровно один корень нечётной степени из любого действительного числа, причём корень из положительного числа положителен, а из отрицательного отрицателен. Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку. Корень чётной степени из отрицательного числа в области действительных чисел не существует, потому что чётная степень любого действительного числа положительна. Положительный корень степени n из положительного числа а называется арифметическим корнем и обозначается ⁿ√а (√а при n = 2). Второй, отрицательный корень, существующий при чётном n, обозначается ⁿ√а. Если же рассматриваются оба значения корня, то перед знаком радикала ставится двойной знак, например √4= +2. В этом случае говорят об алгебраических значениях корня. Существует ровно один арифметический корень данной степени из данного положительного числа. Для числа 0 существует ровно один корень любой степени и он равен 0.

Реклама

В области комплексных чисел при а≠0 существует n различных корней степени n. Например, значениями ³√8 являются числа 2, -1 + i√3, -1 — i√3, где i — мнимая единица.

Корень степени n>1 и его свойства

Корень степени n из единицы, т. е. решение уравнения хⁿ = 1, можно записать в виде

Формулу для корней n-й степени из любого комплексного числа z = r (cos φ + i sin φ), r > 0, 0 ≤ φ < 2π, смотри в статье Комплексное число. Все эти корни находятся на комплексной плоскости в вершинах правильного n-угольника с центром в точке нуль, одна из вершин которого находится в точке ⁿ√r(cos(φ/n) + i sin(φ/n)).

К нахождению корней математиков древности приводили различные геометрические задачи. Среди вавилонских клинописных текстов (2-е тысячелетие до нашей эры) имеются описания приближённого нахождения корня и таблицы квадратных корней, а в египетских папирусах встречается и особый знак для извлечения корня. Древнегреческие математики установили несоизмеримость стороны квадрата с его диагональю (равной а√2, если а — его сторона), что позднее привело к открытию иррациональных чисел. Индийский учёный Ариабхата (5 век нашей эры) описал правила для извлечения квадратных и кубических корней. Омар Хайям, арабский учёный аль-Каши (15 век), немецкий математик М. Штифель (16 век) извлекали корни высших степеней, исходя из формулы для (а + b)ⁿ. Л. Эйлер дал сохранившие своё значение до наших дней приближённые способы извлечения корней. Квадратные корни из отрицательных чисел, встречавшиеся у Дж. Кардано и итальянского математика Р. Бомбелли в 16 веке, привели к открытию комплексных чисел. Об истории знака для корня смотри в статье Математические знаки.

2) Корни алгебраического уравнения

a₀xⁿ + а₁x^n-1 + …

+а_n = 0

— число с, которое при подстановке его вместо х обращает левую часть уравнения в нуль. Корень этого уравнения называется также корнем многочлена

f_n(x) = а₀хⁿ + а₁x^n-1 + … +а_n.

Если число с является корнем многочлена f_n(х), то f_n(х) делится без остатка на х-с. Смотри также Алгебраическое уравнение.

Квадратный кореньСвойства корней

Арифметический квадратный корень — это действие обратное, возведению в квадрат.

Очень важно понять, что квадратный корень — это просто другая запись степени в виде дроби .

Дробная степень числа

Помимо квадратного корня существует кубический корень (третьей степени), четвертой и т.п. корни. Название корня определяется по цифре на корне.

Рассмотрим как корни связаны с дробной степенью. Пусть «x» в степени . Запишем через знак корня это выражение. Знаменатель дробной степени отправляется на корень, а числитель падает вниз на число.

Еще несколько примеров:

---