tgx • ctgx = 1
tg2x + 1 | = | 1 |
cos2x |
ctg2x + 1 | = | 1 |
sin2x |
Содержание
- Формулы сложения и вычитания:
- Формулы двойных углов:
- Формулы понижения степени:
- Формулы половинного аргумента:
- Преобразование суммы (разности) функций в произведение:
- Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:
- Соотношения между обратными тригонометрическими функциями:
- Решите уравнение cos x=-1/2
- Решите уравнение : cos x =1/2
- Знаки тригонометрических функций
- Решение тригонометрических уравнений
Формулы сложения и вычитания:
sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny
cos(x + y) = cosx cosy — sinx siny
tg(x + y) | = | tgx + tgy |
1 — tgx tgy |
ctg(x + y) | = | ctgx ctgy — 1 |
ctgx + ctgy |
sin(x — y) = sinx cosy — cosx siny
cos(x — y) = cosx cosy + sinx siny
tg(x — y) | = | tgx — tgy |
1 + tgx tgy |
ctg(x — y) | = | ctgx ctgy + 1 |
ctgx — ctgy |
Формулы двойных углов:
sin2x = 2sinx • cosx
cos2x = cos2 — sin2x = 2cos2x — 1 = 1 — 2sin2x
tg2x | = | 2tgx | = | 2ctgx | = | 2 |
1 — tg2x | ctg2x — 1 | ctgx — tgx |
ctg2x | = | ctg2x — 1 | = | ctgx — tgx |
2ctgx | 2 |
Формулы понижения степени:
sin2x | = | 1 — cos2x |
2 |
cos2x | = | 1 + cos2x |
2 |
Формулы половинного аргумента:
sin2 | x | = | 1 — cosx |
2 | 2 |
cos2 | x | = | 1 + cosx |
2 | 2 |
tg2 | x | = | 1 — cosx |
2 | 1 + cosx |
ctg2 | x | = | 1 + cosx |
2 | 1 — cosx |
tg | x | = | 1 — cosx | = | sinx |
2 | sinx | 1 + cosx |
ctg | x | = | 1 + cosx | = | sinx |
2 | sinx | 1 — cosx |
Преобразование суммы (разности) функций в произведение:
1. Сумма:
sinx + siny | = 2sin | x + y | • cos | x — y |
2 | 2 |
cosx + cosy | = 2cos | x + y | • cos | x — y |
2 | 2 |
(sinx + cosx)2 = 1 + sin2x
tgx + tgy | = | sin(x + y) |
cosx • cosy |
ctgx + ctgy | = | sin(x + y) |
sinx • siny |
2. Разность:
sinx — siny | = 2sin | x — y | • cos | x + y |
2 | 2 |
cosx — cosy | = -2sin | x + y | • sin | x — y |
2 | 2 |
(sinx — cosx)2 = 1 — sin2x
tgx — tgy | = | sin(x — y) |
cosx • cosy |
ctgx — ctgy | = – | sin(x — y) |
sinx • siny |
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:
sinx • siny | = | cos(x — y) — cos(x + y) |
2 |
sinx • cosy | = | sin(x — y) + sin(x + y) |
2 |
cosx • cosy | = | cos(x — y) + cos(x + y) |
2 |
Соотношения между обратными тригонометрическими функциями:
Способов для вычисления значения выражения cos п достаточно, поэтому рассмотрим некоторые из них.
- По таблице значений косинуса
Один из самых простых способов — это использование таблицы, в которой собраны значения четырех основных тригонометрических функций от основных аргументов.
В таблице значения аргументов могут быть представлены в виде градусов или в виде радиан. Поскольку в задании аргументы даны в радианах, то по таблице найдем столбец, в котором находится значение Пи.
Решите уравнение cos x=-1/2
В первом столбце обратим внимание на функции — нас интересует косинус. На пересечении этих двух данных получим результат — значение косинуса Пи.
Итак, косинус Пи согласно таблице равен —1:
- По тригонометрическому кругу
Можно вычислять значения тригонометрических функций по тригонометрическому кругу (или окружности).
На осях круга содержаться значения двух тригонометрических функций: на оси Ох — значения косинусов, а на оси Оу — значения синусов.
Найдем на самой окружности значение, которое соответствует аргументу функции, то есть Пи. Число на оси Ох лежит в точке —1. Таким образом, косинус равен —1.
- По графику косинуса
Для основных углов удобно находить значения функций с помощью графика соответствующей функции.
По косинусоиде (так называется график косинуса) отчетливо видно, что косинус равен —1.
Уравнение sin x = a.
Уравнение cosx = a.
Уравнение tgx = a.
Уравнение ctg x = a.
Формулы, таблицы значений, примеры, пояснения.
Уравнение sin x = a
Условия:
1) | a | ≤ 1
2) при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решения среди действительных чисел.
Формула решения уравнения sin x = a:
x = (-1)n · arcsin α + πn
где n – любое целое число (n ∈ Z). |
Решите уравнение : cos x =1/2
Ответ оставил Гость
3x — неизвестная и она будет равна значению угла в точке 0
а чтобы найти x, нужно обе части поделить на 3
представляем это как 1/3.
обе части делим на 1/3. 0 делить на 1/3 так и будет ноль.
cosx=-1
впринципе табличное значение. но вообще хорошо бы представлять себе тригонометрический круг. косинус на оси x. отмеряем -1 на оси x. чтобы спроецировать -1 на ось икс, на нужно пройти 180 градусов по часовой стрелке или π, в радианах. добавим сюда ещё период косинуса 2π*k
опять же делаем как первом примере
2x приравниваем к значению угла в √2/2
Но это все — таличные значения, их нужно просто выучить.
Знаки тригонометрических функций
Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.
угла α — это ордината (координата y ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α — это абсцисса (координата x ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .
Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .
Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:
Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:
- sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата y ). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
- cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же — абсцисса) будет больше нуля;
- tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти ( x < 0, y < 0).
Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:
Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.
Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика.
Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.
Задача. Определите знаки тригонометрических функций и выражений (значения самих функций считать не надо):
- sin (3π/4);
- cos (7π/6);
- tg (5π/3);
- sin (3π/4) · cos (5π/6);
- cos (2π/3) · tg (π/4);
- sin (5π/6) · cos (7π/4);
- tg (3π/4) · cos (5π/3);
- ctg (4π/3) · tg (π/6).
План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ [90°; 180°], это угол из II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) < 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ [270°; 360°], мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
- sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ [90°; 180°], это II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ [90°; 180°] — это II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ [0°; 90°] — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
- sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ [90°; 180°], речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это II четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ [270°; 360°] — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
- ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ [180°; 270°] — это III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.
В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11.
Решение тригонометрических уравнений
В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.
Задача. Найдите sin α, если sin2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].
Поскольку sin2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.
Задача. Найдите cos α, если cos2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].
Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.
Задача. Найдите sin α, если sin2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].
Имеем: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.
Задача. Найдите tg α, если tg2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].
Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!
Смотрите также:
- Радианная и градусная мера угла
- Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
- Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
- Четырехугольная пирамида в задаче C2
- Задача B2: лекарство и таблетки
- Задача B4 с таблицами: тарифы на интернет