Системы линейных уравнений: основные понятия

— это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

— это последовательность чисел (k₁, k₂, …, k_n), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x₁, x₂, …, x_n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество.

Переменная x_i называется , если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x_i должен быть равен нулю.

Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x₁, x₃ и x₄. Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система — разрешенная относительно x₁, x₃ и x₅. Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x₅ = x₄.

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:

1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k: r = k. Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x₁ = b₁, x₂ = b₂, …, x_k = b_k;
2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k: r < k. Остальные (k − r) переменных называются свободными — они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, в приведенных выше системах переменные x₂, x₅, x₆ (для первой системы) и x₂, x₅ (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:

Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.

Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x₁, x₂, …, x_r — разрешенные, а x_{r + 1}, x_{r + 2}, …, x_k — свободные, то:

1. Если задать значения свободным переменным (x_{r + 1} = t_{r + 1}, x_{r + 2} = t_{r + 2}, …, x_k = t_k), а затем найти значения x₁, x₂, …, x_r, получим одно из решений.
2. Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.

В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все — таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.

Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше — неопределенной.

И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует метод Гаусса.

Смотрите также:

1. Метод Гаусса
2. Работа с формулами в задаче B12
3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
4. Решение задач B12: №448—455
5. Как не ошибиться, если я ищу репетитора по математике
6. Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат

Метод Жордана-Гаусса

Алгоритм метода Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений

1) Выписать расширенную матрицу системы. (Что такое расширенная матрица читать здесь)

2) Выбрать ведущий элемент (любой ненулевой элемент) в любой строке и в любом столбце, кроме последнего.

( Строка и столбец, в которых он находится называют ведущими ).

3) Выполнить жорданово исключение с выбранным ведущим элементом. Отметить ведущую строку и все строки, помеченные ранее.

4) Если хотя бы одна строка имеет вид: (0 0 … 0 : b ), b ≠ 0, то система решений не имеет. Ответ. Система несовместна.

5) Если все ненулевые строки матрицы помечены, то выписать систему и найти ее общее решение. Ответ. Общее решение системы.

6) Выбрать ведущий элемент в любой непомеченной строке и в любом столбце, кроме последнего. Перейти к пункту 3.

Выполнить жорданово исключение с ведущим элементом а_ij означает выполнить следующие действия:

1) разделить ведущую строку на ведущий элемент;

2) заполнить свободные места в ведущем столбце нулями;

3) остальные элементы матрицы пересчитать по формуле, называемой «правилом прямоугольника».

Изобразим это правило схематически. Ведущий элемент будем выделять рамкой. Стрелками показаны элементы, которые перемножаются в числителе дроби. Эти элементы расположены на диагоналях прямоугольника, образованного ведущим элементом а_ij, пересчитываемым элементом а_kl и элементами, которые находятся на пересечении ведущей строки и столбца l, ведущего столбца и строки k.

Замечания.

1. В числители дроби всегда от произведения с ведущим элементом (вне зависимости от того в какой вершине прямоугольника стоит ведущий элемент) вычитается произведение элементов, которые находятся на пересечении ведущей строки и столбца l, ведущего столбца и строки k.

2. Если в ведущей строке есть нулевой элемент, то столбец, в котором он находится, при жордановом исключении не меняется.

3. Если в ведущем столбце есть нулевой элемент, то строка, в которой он находится, при жордановом исключении не меняется.

Рассмотрим примеры решения систем методом Жордана-Гаусса.

РЕШЕНИЕ:

Выпишем расширенную матрицу системы

Выбираем ведущий элемент (ведущий элемент будем выделять рамкой):

Выполним жорданово исключение с ведущим элементом а₁₃=1:

1) разделим ведущую строку на 1;

2) заполним свободные места в третьем столбце нулями;

3) в ведущем столбце во второй строке есть нулевой элемент (а₂₃=0), поэтому вторую строку перепишем без изменений (замечание 3);

4) остальные элементы матрицы (а именно четыре оставшихся элемента третьей строки) пересчитаем по «правилу прямоугольника».

В получившейся матрице пометим галочкой первую строку:

Теперь в этой матрице выберем ведущий (любой ненулевой) элемент в любой непомеченной строке и в любом столбце, кроме последнего, например, а₂₁=1.

Выполним жорданово исключение с ведущим элементом а₂₁=1:

1) разделим ведущую строку на 1;

2) заполним свободные места в первом столбце нулями;

3) в ведущей строке в третьем столбце есть нулевой элемент (а₂₃=0), поэтому третий столбец перепишем без изменений (замечание 2);

4) остальные элементы матрицы пересчитаем по «правилу прямоугольника».

Пометим галочками ведущую (вторую) строку и строку, помеченную ранее.

В результате получится матрица:

В последней матрице все элементы третьей строки, кроме элемента расположенного в последнем столбце, равны нулю.

Системы линейных уравнений: основные понятия

Следовательно, данная система несовместна (п. 4 в алгоритме метода Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений).

ОТВЕТ: Система несовместна.

Показать ответ

Показать ответ

Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)

Видеоурок: Метод Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)

Пример из видеоурока в рукописном виде:

Пример 2.

Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника: НЭ = СЭ — (А*В)/РЭ, где РЭ — разрешающий элемент (1), А и В — элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Разрешающий элемент равен (-1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Разрешающий элемент равен (-4).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

17 Системы линейных уравнений

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Теперь исходную систему можно записать как:
x1 = -7.75 — 8×5 — 10.75×6
x2 = -12 — 10×5 — 11×6
x3 = -7.25 — 6×5 — 5.25×6
x4 = -2.25 — x5 — 1.25×6
Необходимо переменные x5,x6 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.
Приравняем переменные x5,x6 к 0
x1 = -7.75
x2 = -12
x3 = -7.25
x4 = -2.25
Среди базисных переменных есть отрицательные значения. Следовательно, данное решение не опорное.

Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики.

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением.

Определение общего решения СЛУ. Базисные и свободные неизвестные.

Системой уравнений называется общим решением совместная система A1x1+A2x2+…+Anxn=B (1), если выполняется следующее условие:
A1’x1+A2’x2+…+An’xn=B (2)
система (2) общее решение сист.

Система линейных алгебраических уравнений

(1)
условия:1)система (1) и (2) должны быть равносильны
2)система векторов A1,A2,..,An в сист. уравнений (2) явл. Разрешённой системой векторов

Набор неизвестных системы уравнения (1) называются базисными, если векторы при этих неизвестных образуют базис системы A1A2…An
не базисные неизвестные принято называть свободными.

Однородные СЛУ. Свойства однородной СЛУ. Теорема о нулевом и ненулевом решении СЛУ,

Однородная система— система, у которой все свободные члены равны нулю.

Однородная система—всегда совместна, так как x₁=x₂=x₃=…=x_n=0является решением системы.

Теоремы о ненулевых решениях однородной системы :

• Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т.

  е. r<n.

Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит . В случае система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .

Следствие 1: Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство: Если у системы уравнений , то ранг системы не превышает числа уравнений , т.е. . Таким образом, выполняется условие и, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие 2: Однородная система уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство: Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которой с определителем , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица вырожденная, т.е.

• Для того, чтобыоднородная системаn линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель D был равен нулю, т. е. D=0.

Теорема о числе линейно независимых решений однородной СЛУ

Число линейно-независимых решений однородной СЛУ не превосходит числа n-r(A).

Фундаментальная система решений однородной СЛУ

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Система F1,F2…Fk называется ФСР, если выполняются условия:

а) вектора F1,F2..Fk линейно-независимы

б) k=n-r(A) – число решений равно разности количества неизвестных и ранга системы

Теорема об условии существования ФСР однородной СЛУ

Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.

©2015-2018 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Метод Гаусса: примеры решений и частные случаи

30 апреля 2013

Метод Гаусса, также называемый методом пошагового исключения неизвестных переменных, назван именем выдающегося немецкого ученого К.Ф. Гаусса, еще при жизни получившего неофициальный титул «короля математики». Однако данный метод был известен задолго до зарождения европейской цивилизации, еще в I в.

Системы линейных уравнений. Основные понятия. Переменные, входящие в уравнения системы

до н. э. древние китайские ученые использовали его в своих трудах.

Метод Гаусса является классическим способом решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он идеален для быстрого решения ограниченных по размеру матриц.

Сам метод состоит из двух ходов: прямого и обратного. Прямым ходом называется последовательное приведение СЛАУ к треугольному виду, то есть обнуление значений, находящихся под главной диагональю.

Обратный ход подразумевает последовательное нахождение значений переменных, выражая каждую переменную через предыдущую.

Научиться применять на практике метод Гаусса просто, достаточно знания элементарных правил умножения, сложения и вычитания чисел.

Для того чтобы наглядно показать алгоритм решения линейных систем данным методом, разберем один пример.

Итак, решить, используя метод Гаусса:

x+2y+4z=3
2x+6y+11z=6
4x-2y-2z=-6

Нам нужно во второй и третьей строчках избавиться от переменной х. Для этого мы прибавляем к ним первую, умноженную на -2 и -4 соответственно. Получим:

x+2y+4z=3
2y+3z=0
-10y-18z=-18

Теперь 2-ю строчку умножим на 5 и прибавим ее к 3-ей:

x+2y+4z=3
2y+3z=0
-3z=-18

Мы привели нашу систему к треугольному виду. Теперь осуществляем обратный ход. Начинаем с последней строчки:
-3z =-18,
z=6.

Вторая строчка:
2y+3z=0
2y+18=0
2y=-18,
y=-9

Первая строчка:
x+2y+4z=3
x-18+24=3
x=18-24+3
х= -3

Подставляя полученные значения переменных в исходные данные, убеждаемся в правильности решения.

Данный пример может решаться множеством любых других подстановок, но ответ должен получиться тот же самый.

Бывает так, что на ведущей первой строке расположены элементы со слишком малыми значениями. Это не страшно, но довольно усложняет вычисления. Решением данной проблемы является метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Суть его состоит в следующем: в первой строке отыскивается максимальный по модулю элемент, тот столбец, в котором он расположен, меняют местами с 1-м столбцом, то есть наш максимальный элемент становится первым элементом главной диагонали. Далее идет стандартный процесс вычисления. При необходимости процедуру перемены местами столбцов можно повторить.

Еще одним модифицированным методом Гаусса является метод Жордана-Гаусса.

Применяется при решении квадратных СЛАУ, при нахождении обратной матрицы и ранга матрицы (количества ненулевых строк).

Суть этого метода в том, что исходная система путем преобразований превращается в единичную матрицу с дальнейшим отысканием значений переменных.

Алгоритм его таков:

1. Система уравнений приводится, как и в методе Гаусса, к треугольному виду.

2. Каждая строчка делится на определенное число с таким расчетом, чтобы на главной диагонали получилась единица.

3. Последняя строчка умножается на какое-то число и вычитается из предпоследней с таким расчетом, чтобы не на главной диагонали получить 0.

4. Операция 3 повторяется последовательно для всех строк, пока в конечном итоге не образуется единичная матрица.

Источник: fb.ru

Комментарии

Идёт загрузка…

Похожие материалы

Образование
Have to, had to — модальный глагол. Применение, примеры и частные случаи

Глагол have имеет очень широкое применение как самостоятельно, так и в связке с другими словами. Кроме того, имеется много перекрывающихся областей с другими похожими глаголами.Need to vs. have toДля т…

Бизнес
Методы разработки управленческих решений и способы их применения

Ответственность за принятые решения требует наличия знаний. Полагаться только на интуицию и русское «авось» в условиях стремительно развивающегося рынка и растущей конкуренции невозможно, поэтому прак…

Домашний уют
Как паять наушники: общие рекомендации и частные случаи

Любые, даже достаточно дорогие наушники, — весьма недолговечный аксессуар. Но если у вас стал барахлить один наушник, вы случайно порвали провод или отломали штекер — это еще не повод выкинуть гарнитуру в мусорное вед…

Образование
Сложение и умножение вероятностей: примеры решений и теория

Изучение теории вероятности начинается с решения задач на сложение и умножение вероятностей. Стоит сразу упомянуть, что студент при освоении данной области знаний может столкнуться с проблемой: если физические или хим…

Закон
Государственно-частное партнерство — это формы взаимовыгодного взаимодействия государства и частного бизнеса. Примеры

В экономике многих стран появилась особая форма отношений коммерческих предприятий и власти. Для обозначения этого взаимодействия используется понятие государственно-частного партнерства. Рассмотрим его далее подробно…

Здоровье
Частные случаи перхоти (перхоть на голове, перхоть в ушах и бровях)

Перхоть еще с давних времен является большой проблемой для большей части жителей нашей планеты. Причин для ее появления существует огромное количество. Перхоть – это заболевание. В своем роде, это грибок,…

Образование
Метод сценария: примеры и история

Что представляет собой метод сценариев? Отметим, что с его помощью можно провести оценку вероятного хода развития определенных событий, а также предусмотреть последствия принятых решений. Например, можно предсказать ц…

Образование
Линейные и однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решения

Думаю, нам стоит начать с истории такого славного математического инструмента как дифференциальные уравнения. Как и все дифференциальные и интегральные исчисления, эти уравнения были изобретены Ньютоном в конце 17-го …

Компьютеры
Как включить Browser Plugins: общие и частные решения

Практически все пользователи интернета, которые работают с веб-обозревателями, знают, что браузеры в чистом виде имеют весьма ограниченную функциональность. Связано это с тем, что для улучшения их работы необходимо ис…

Автомобили
Обороты падают при нажатии на тормоз: возможные причины, способы решения и рекомендации

Автомобиль – это многофункциональная система, где важна слаженная и синхронизированная работа всех механизмов и каждого узла отдельно. Различные сбои и поломки хотя бы одной из деталей могут повлечь за собой нар…